探讨破碎机的数学原理和破碎效率

破碎机的数学模型

破碎机数学模型是描述破碎机排料和给料粒度特性之间定量关系的数学表达式。在破碎机（如颚式破碎机，圆锥破碎机等）中，物料在破碎腔内仅作短暂的停留就被排出，因而可将其破碎过程视为静态过程，可以采用与时间无关的矩阵模型来加以描述。破碎机数学模型的基础是美国的爱泼斯坦（B.Epstein）1948年提出的碎裂概率函数（又称选择函数或碎裂速率函数）S和碎裂分布函数（又叫碎裂函数）B两个基本概念。

S表示固体颗粒被破碎的概率，不同粒级的物料，其碎裂概率不同；B表示某一粒级的物料经破碎后分配到比该粒级更细的粒级中的质量分数。1956年，布罗德本特（S.R.Broadbent）和考尔科特（T.G.Callcott）从上述两个基本概念出发，运用矩阵代数，建立了破碎机数学模型，其形式有三种：

P=(BS+I-S)f

P=(I-C)[I-(BS+I-S)C]^-1f

P=(I-C)(BS+I-S)[I-C(BS+I-S)]^-1f

式中：P为排料粒度分布矩阵；B为碎裂分布函数矩阵；S为碎裂概率函数矩阵；I为单位矩阵；f为给料粒度分布矩阵；C为分级函数矩阵。各种破碎机的数学模型都可以归结为以上三种形式，其中式（1-1）适用于破碎机中不存在内分级作用的情况；式（1-2）用于内分级作用与破碎同时发生的情况；式（1-3）用于内分级作用发生在破碎之后的情况。为了满足破碎过程动态控制的需要，马查多（M.R.Machado）研究了比较通用的破碎机动态模型，其形式为C(t₂)=T(t₁,t₂)C(t₁),t₂>t₁

式中：C(t₂)为t₂时刻物料的粒度分布；C(t₁)为t₁时刻物料的粒度分布；T(t₁,t₂)为转换函数。式(1-4)实际上是一个用马尔柯夫链表达的随机过程，转换矩阵T相当复杂，在马查多模型的转换矩阵中包含了碎裂概率函数矩阵S和碎裂分布函数矩阵B。

破碎机数学模型主要用于破碎过程分析、模拟和控制，进行破碎工艺设计和设备选择，以达到破碎过程优化的目的。

破碎机的破碎效率

破碎效率是评价破碎机和破碎流程工艺性能的数量指标。它可以指导确定破碎工艺参数，选择较佳工作制度，改进破碎机的结构参数及其设计，以及决定新技术的采用。一般以破碎能耗来评价破碎机和破碎流程的工作效率。通常以每消耗一千瓦时的能量E所破碎的产品吨数Q表示，即破碎效率为t/(kw.h)也可以用单位能耗(kw.h)/t来评价破碎机和破碎流程的工作效率。这类表示方法称为比能耗法，它不考虑原矿和破碎机破碎产品的粒度（即不考虑破碎比及破碎粒度范围），不考虑被破碎物料的性质。因此，在比较两台破碎机的破碎效率时，需用同一物料在相同的粒度范围内进行。破碎不同物料时，可以采用邦德冲击破碎功指数W_i与生产功指数W_ioc的百分比来表示。此值显示了实际能耗与标准能耗（即邦德冲击破碎功指数）的差距，但应注意到，破碎粒度范围和破碎比仍然会影响评价破碎效率的精度。在一些理论研究中，亦有以“破碎概率”来评价破碎效率的。所谓破碎概率是指破碎产品中指定粒级的新生成产率P_f。为了与能耗相联系，通常绘制成P_f自述坐标或对数坐标图形来进行分析，得出破碎概率与皆能耗的关系。

为了评价破碎流程整个作业线的破碎效率以及各破碎机和破碎机组的破碎效率，1980年苏联的费多罗夫提出了用“工艺生产率”评价破碎效率的方法，即F_j=DQ/dP_j。式中：F_j为作业线的工艺生产率（j可取1~n，n为破碎段数）和某部分工艺生产率（例如一段破碎F₁，二段破碎F₂，其他任意破碎段F_j等）D为原矿粒度；D为生产率；Q为破碎产品粒度。